🇬🇧 Music and mathematics- Bach’s musical geometries 🇪🇦 Música y matemáticas: geometrías musicales de Bach



Music and mathematics- Bach’s musical geometries.

Original article by Chiara Arlati, translation edited by me.

Music is a science that must have certain rules: these must be abstracted from an evident principle, which cannot be known without the help of mathematics.

Jean Philippe Rameau


I connect to the article carried out by Emily, The Gothic sea, that is, to the analysis between the various more or less evident links that mix, at different levels, in all forms of art and communication.  I will focus on the relationship between music and mathematics.

When developing a technical discourse on the links between the two disciplines, it is natural that the accent falls on the arithmetic physical aspect of music: on the whole complex game of relationships of frequencies and times that is described in mathematical terms.  If the same rhythmic division of the musical meter is indicated with a mathematical fraction, today we know that at the basis of any noise there is a contribution of countless standing waves and that any sound can be broken down into sine waves by harmonic analysis.

In a more abstract way, music was also related to mathematics in its compositional aspect.  This type of musical analysis has had illustrious lovers throughout the centuries: Bach, Rameau, Tartini (Treatise on music according to the true science of harmony, 1754), Iannis Xenakis (Formalized music, 1971), Pierre Boulez and Philip Glass (graduates  in mathematics and from here they drew inspiration for their art).


Bachian works such as the Goldberg Variations, the Musical Offering and The Art of Escape systematically use geometric transformations that invert, overturn and expand musical themes.

Its own transformations, basic for all polyphony, were then explicitly formulated at the beginning of the century, as rules of dodecaphony.

Through the language of geometry, it is possible to describe and appreciate the so-called musical symmetries:

From a theme, the various voices can be constructed by translating them on the axis of the times, so as to overlap them with the theme with a certain delay (eg: canon of “Fra Martino”).

A translation on the vertical axis changes the notes of the given theme and therefore the hue.

By inverting the sign to the dependent or independent variable, a reflection is performed.

And finally, a stretch is a variation of units of measurement on the horizontal and vertical axis.

Aware now of the close link existing between Bach’s music and Pythagorean thought, it can be useful to reflect on the “mathematical” aspects of music, which not surprisingly can be represented, like any mathematical function, on a Cartesian system of axes.

In fact, it is possible to represent any melodic line in space, for example by placing the values relative to the sound pitches on the ordinate axis, and the temporal dimension on the abscissa axis.  In this way a simple function y = f (x) like the one shown in the figure below, could indicate an ascending melodic line.

The graph, even more than the traditional score above, highlights an aspect that the ear had not noticed at all: a fleeting glance is enough to immediately realize that the melody has a symmetrical structure.  If we performed the same melody backwards, that is, starting from the last note to get to the first, the result would in fact be unchanged (inverse canon).

Bach’s so-called canonical ars is strongly centered on this sort of musical puzzle, in which the discourse is conducted by a clever game of ‘hide and seek’ of more or less clearly recognizable themes.  Far more than a simple intellectual game, for Bach to dedicate himself to the canons was the work of a complex speculation, perhaps of mystical-Pythagorean derivation and in any case destined and comprehensible only to initiates.  Certainly for him the canon was a demonstration of a stunning compositional virtuosity, always conducted with a very strong sense of rigor and rationality.

To realize this, it may be sufficient to take into consideration the structure of the Goldberg variations, a large composition structured in 32 parts (a 32-bar Aria, thirty variations on it and a conclusive shot of the Aria itself), according to a rigorous formal principle  and a very complex architectural concept.  In this collection the variations are arranged in groups of three and the last of each group is a canon, built on gradually ascending intervals (from unison to ninth).

Strongly Pythagorean connotations within these compositions are:

Enigma principle: in which the canons are presented as puzzles to be solved. Mirror principle: in which the specular character of the canons for opposite motion, could reflect the Pythagorean idea of ​​the relationship between the archetype and its image.

The principle of the mirror also returns in Greek (alphabetic) musical notation, whose invention is attributed by Aristide Quintiliano to Pythagoras himself.  In fact, in the whole history of religions, the mirror has always been given importance: in the ancient world the idea that visible creation was a mirror of God was familiar.

Monad principle: in which the canons are complex compositions whose structure is essentially derived from a single theme that generates all the other parts.  The idea that all things are rooted in one, in unity, is a Pythagorean idea.

Writing this article also led me to the opportunity to strongly recommend listening to the Goldberg Variations and to make a comparison between two different engravings.  Those made by Glenn Gould on the piano and by Ottavio Dantone on the harpsichord.  This will lead to a comparison between the two instruments.  I would like to understand your opinion with curiosity.  I would never allow myself to discredit Gould’s genius, but much more than the sound result.  Personally, the harpsichord manages to give me back what the ear wants to perceive: nuances, precision and richness.  The piano cannot render value (at least in the right way) to this musical genre.

Goldberg variation BWV 988, played by Gould, on the piano.



🇪🇦 Música y matemáticas: geometrías musicales de Bach

Artículo original de Chiara Arlati, traducción editada por mí.

La música es una ciencia que debe tener ciertas reglas: estas deben abstraerse de un principio evidente, que no puede conocerse sin la ayuda de las matemáticas.

Jean Philippe Rameau


Me conecto al artículo realizado por Emily, The Gothic Sea, es decir, al análisis entre los diversos vínculos más o menos evidentes que se mezclan, en diferentes niveles, en todas las formas de arte y comunicación.  Me enfocaré en la relación entre la música y las matemáticas.

Al desarrollar un discurso técnico sobre los vínculos entre las dos disciplinas, es natural que el acento recaiga en el aspecto físico aritmético de la música: en todo el complejo juego de relaciones de frecuencias y tiempos que se describe en términos matemáticos.  Si la misma división rítmica del medidor musical se indica con una fracción matemática, hoy sabemos que en base a cualquier ruido hay una contribución de innumerables ondas estacionarias y que cualquier sonido puede descomponerse en ondas sinusoidales mediante análisis armónico.

De una manera más abstracta, la música también se relacionó con las matemáticas en su aspecto compositivo.  Este tipo de análisis musical ha tenido ilustres amantes a lo largo de los siglos: Bach, Rameau, Tartini (Tratado sobre la música según la verdadera ciencia de la armonía, 1754), Iannis Xenakis (Música formalizada, 1971), Pierre Boulez y Philip Glass (graduados  en matemáticas y de aquí se inspiraron para su arte).


Las obras de Bachian como Goldberg Variations, Musical Offering y The Art of Escape utilizan sistemáticamente transformaciones geométricas que invierten, invierten y expanden temas musicales.

Sus propias transformaciones, básicas para toda la polifonía, se formularon explícitamente a principios de siglo, como reglas de la dodecafonía.

A través del lenguaje de la geometría, es posible describir y apreciar las llamadas simetrías musicales:

A partir de un tema, las diversas voces se pueden construir traduciéndolas en el eje de los tiempos, para que se superpongan con el tema con un cierto retraso (por ejemplo: canon de “Fra Martino”).

Una traducción en el eje vertical cambia las notas del tema dado y, por lo tanto, el tono.

Al invertir el signo en la variable dependiente o independiente, se realiza una reflexión.

Y finalmente, un estiramiento es una variación de unidades de medida en el eje horizontal y vertical.

Consciente ahora del estrecho vínculo existente entre la música de Bach y el pensamiento pitagórico, puede ser útil reflexionar sobre los aspectos “matemáticos” de la música, que no sorprendentemente pueden representarse, como cualquier función matemática, en un sistema cartesiano de ejes.

De hecho, es posible representar cualquier línea melódica en el espacio, por ejemplo, colocando los valores relativos a los tonos de sonido en el eje de ordenadas, y la dimensión temporal en el eje de abscisas.  De esta manera, una función simple y = f (x) como la que se muestra en la figura a continuación, podría indicar una línea melódica ascendente.

El gráfico, incluso más que el puntaje tradicional anterior, resalta un aspecto que el oído no había notado en absoluto: una mirada fugaz es suficiente para darse cuenta de inmediato de que la melodía tiene una estructura simétrica.  Si ejecutamos la misma melodía al revés, es decir, comenzando desde la última nota para llegar a la primera, el resultado de hecho no cambiará (canon inverso).

El llamado ars canónico de Bach está fuertemente centrado en este tipo de acertijo musical, en el que el discurso se lleva a cabo mediante un juego inteligente de ‘esconder y buscar’ de temas más o menos claramente reconocibles.  Mucho más que un simple juego intelectual, para Bach dedicarse a los cánones fue el trabajo de una especulación compleja, tal vez de derivación místico-pitagórica y, en cualquier caso, destinada y comprensible solo para iniciados.  Ciertamente para él, el canon era una demostración de un asombroso virtuosismo compositivo, siempre realizado con un fuerte sentido de rigor y racionalidad.

Para darse cuenta de esto, puede ser suficiente tener en cuenta la estructura de las variaciones de Goldberg, una gran composición estructurada en 32 partes (una Aria de 32 barras, treinta variaciones y una toma concluyente de la propia Aria), de acuerdo con un riguroso principio formal  y un concepto arquitectónico muy complejo.  En esta colección, las variaciones se organizan en grupos de tres y el último de cada grupo es un canon, construido en intervalos ascendentes graduales (desde el unísono hasta el noveno).

Las connotaciones fuertemente pitagóricas dentro de estas composiciones son:

Principio del enigma: en el que los cánones se presentan como acertijos a resolver Principio del espejo: en el que el carácter especular de los cánones para el movimiento contrario, podría reflejar la idea pitagórica de la relación entre el arquetipo y su imagen.

El principio del espejo también regresa en notación musical griega (alfabética), cuya invención es atribuida por Aristide Quintiliano al propio Pitágoras.  De hecho, en toda la historia de las religiones, al espejo siempre se le ha dado importancia: en el mundo antiguo, la idea de que la creación visible era un espejo de Dios era familiar.

Principio de la mónada: en el que los cánones son composiciones complejas cuya estructura se deriva esencialmente de un solo tema que genera todas las otras partes.  La idea de que todas las cosas están enraizadas en una, en la unidad, es una idea pitagórica.

Escribir este artículo también me llevó a la oportunidad de recomendar encarecidamente escuchar las variaciones de Goldberg y hacer una comparación entre dos grabados diferentes.  Los realizados por Glenn Gould en el piano y Ottavio Dantone en el clavecín.  Esto llevará a una comparación entre los dos instrumentos.  Me gustaría entender tu opinión con curiosidad.  Nunca me permitiría desacreditar el genio de Gould, pero mucho más que el resultado sonoro.  Personalmente, el clavecín logra devolverme lo que el oído quiere percibir: matices, precisión y riqueza.  El piano no puede representar el valor (al menos de la manera correcta) para este género musical.

Variación Goldberg BWV 988, interpretada por Gould, en el piano.



🇮🇹 Musica e matematica- le geometrie musicali di Bach

Articolo di Chiara Arlati.


%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo:
search previous next tag category expand menu location phone mail time cart zoom edit close